這個節目遊戲的玩法,是由參賽者於三扇門當中選擇一扇門,將門後的禮物帶回家。三扇門背後,一個裡面是跑車,另外兩個是山羊。所以參賽者可能開心地獲得跑車開回家,也有可能哀怨地得到山羊(騎回家嗎)。這個節目的主持人蒙提霍爾(Monty Hall)先生會事先知道跑車在哪一扇門後面,當參賽者作好選擇後,先不把該被選擇的門打開,霍爾會開啟剩下兩扇門當中其中一扇(當然不會把有跑車那扇打開)。比如說,參賽者選擇1號門,選擇確定後先不要開,主持人霍爾會打開2號門(霍爾故意打開關著山羊的2號門),然後問參賽要選擇原來的1號門呢?還是要換3號呢?如果是你(妳),你(妳)覺得該不該換?
以我們一般人的直覺而言,會覺得「不換」是較佳策略,因為霍爾會在你(妳)選好之後,把其中一扇關山羊的門打開,這會讓你覺得:「我好像已經成功一半了!」畢竟本來獲得跑車的機率是1/3,看到其中一隻山羊已經排除選擇之外,會感覺獲得跑車的機率變成1/2。在當時,參賽者作好選擇後,台下觀眾會一直起鬨叫他換或不換,然而根據統計,大多數參賽者皆會選擇不換。採取「不換」獲獎的機率比較高,這點也就普遍被認同了。
直到有一名被公認為世界上最聰明的女性:瑪麗蓮·沃斯·莎凡特(Marilyn Vos Savant),莎凡特在她的雜誌專欄 “Column in Parade Magazine”中提出:「蒙提霍爾遊戲中,對參賽者而言,選擇更換一開始所選擇的門,才是最佳策略,大眾都被問題的表象所蒙蔽,以為如果選擇不換,選中跑車和山羊的機率各別會是1/2」。然而,很多的數學家和其他學者皆不能接受他的說法,紛紛寫信給莎凡特,但莎凡特仍堅持己見,認為換的話得到跑車的機率是2/3,不換的話得到跑車的機率會降成1/3。雙方意見持續對壘。
這件機率問題的對壘,直到加州柏克萊大學統計學教授Philip Stark以實例證明莎凡特是對的,當時批評他的數學家和學者這才紛紛領悟,爾後向莎凡特認錯道歉,這在當時傳為佳話。
這是個「條件機率(Conditional Probability)」的問題,參賽者在二選一之前,先作了三選一的動作,因而影響到接下來的機率,所以不換的話,選到跑車的機率不可能會是1/2。直覺就是,第一步的選門會和後來的選擇「換」與「不換」相互影響。如果換,第一步的選門就不能選到車;如果不換,第一步的選門就一定要選到車。很饒舌吼!想知道怎麼算嗎?來學習討論室找易穎小老師吧^^!
還有個有趣的事情,莎凡特女士不但是當時公認為最聰明的女性,甚至傳言她的智商高達IQ 228,顯然超越了一般人所設定的最高智商IQ 180,故而在她對這個在美國超級紅的節目(就像臺灣當年的的超級星光大道吧!)語出驚人之後,就有「一拖拉庫」的人想要攻擊她、反駁她,可能因為她是女生,認為她不會有這麼好的數理能力,但事實證明這些反駁她的人都失敗了!果然樹大容易招風呀!作人還是要低調一點比較好,同學你(妳)說是吧,呵呵。
蒙提霍爾問題的講解
蒙提霍爾問題的推理證明
莎凡特女士的網站
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